Упр.43.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.17. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции y=12-x^2, D(y)=[-2v3; 2v3], а две другие — оси абсцисс. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть верхние вершины прямоугольника имеют координаты $$(-x,\,12-x^2)$$ и $$(x,\,12-x^2)$$, где $$0 \le x \le 2\sqrt{3}.$$ Тогда ширина прямоугольника равна $$2x,$$ а высота — $$12-x^2.$$

Следовательно, площадь прямоугольника

$$S(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3.$$

Найдём максимум этой функции на отрезке $$[0;\,2\sqrt{3}].$$

$$S'(x)=24-6x^2.$$

Приравняем производную к нулю:

$$24-6x^2=0,$$
$$x^2=4,$$
$$x=2.$$

Проверим значение площади:

$$S(2)=2\cdot 2\cdot (12-2^2)=4\cdot 8=32.$$

На концах отрезка площадь равна нулю, значит, наибольшее значение достигается при $$x=2.$$

Ответ

$$32$$