Упр.43.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.16. В полукруг радиусом 6 см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим половину основания прямоугольника через $$x$$, а его высоту через $$y$$. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу полукруга, получаем

$$x^2+y^2=6^2=36,$$

откуда

$$y=\sqrt{36-x^2}.$$

Периметр прямоугольника равен

$$P=2(2x+y)=4x+2\sqrt{36-x^2}.$$

Найдём максимум функции $$P(x)$$:

$$P'(x)=4-\frac{2x}{\sqrt{36-x^2}}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4-\frac{2x}{\sqrt{36-x^2}}=0,$$

$$4\sqrt{36-x^2}=2x,$$

$$2\sqrt{36-x^2}=x.$$

Возведём в квадрат:

$$4(36-x^2)=x^2,$$

$$144-4x^2=x^2,$$

$$5x^2=144,$$

$$x=\frac{12\sqrt5}{5}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{36-\frac{144}{5}}=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6\sqrt5}{5}.$$

Значит, стороны прямоугольника:

$$2x=\frac{24\sqrt5}{5}, \qquad y=\frac{6\sqrt5}{5}.$$

Ответ

$$\frac{24\sqrt5}{5}\text{ см и }\frac{6\sqrt5}{5}\text{ см}.$$