Упр.43.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.15. В полукруг радиусом 20 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим половину основания прямоугольника через $$x$$, а его высоту через $$y$$. Тогда вершина прямоугольника лежит на полуокружности радиуса $$20$$ см, значит

$$x^2+y^2=20^2=400,$$

откуда

$$y=\sqrt{400-x^2}.$$

Площадь прямоугольника равна

$$S(x)=2xy=2x\sqrt{400-x^2}.$$

Найдём максимум этой функции:

$$S'(x)=2\sqrt{400-x^2}+2x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{400-x^2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S'(x)=\frac{2(400-x^2)-2x^2}{\sqrt{400-x^2}}=\frac{800-4x^2}{\sqrt{400-x^2}}.$$

Для максимума приравняем производную к нулю:

$$800-4x^2=0,$$

$$x^2=200,$$

$$x=10\sqrt{2}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{400-200}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.$$

Значит, основание прямоугольника равно

$$2x=20\sqrt{2},$$

а высота равна

$$10\sqrt{2}.$$

Ответ

$$20\sqrt{2}\text{ см и }10\sqrt{2}\text{ см}.$$