Упр.43.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.13. В треугольник АВС вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне АС, а две другие — на сторонах АВ и ВС. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если AC=12 см, BD=10 см, где BD — высота треугольника АВС.

Подробный ответ

Обозначим высоту прямоугольника через $$x$$. Тогда расстояние от вершины $$B$$ до верхней стороны прямоугольника равно $$10-x$$.

Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих отрезков:

$$\frac{EF}{AC}=\frac{BL}{BD}.$$

Так как $$AC=12$$, $$BD=10$$, а $$BL=10-x$$, то

$$EF=\frac{AC\cdot BL}{BD}=\frac{12(10-x)}{10}=\frac{6(10-x)}{5}.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=x\cdot EF=x\cdot \frac{6(10-x)}{5}=\frac{60x-6x^2}{5}.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-60/5}{2\cdot(-6/5)}=5.$$

Тогда

$$S_{\max}=S(5)=\frac{60\cdot 5-6\cdot 5^2}{5}=\frac{300-150}{5}=30.$$