Упр.43.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. В треугольник $$ABC$$ вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне $$AC$$, а две другие — на сторонах $$AB$$ и $$BC$$. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если $$AC=12\ \text{см}$$, $$BD=10\ \text{см}$$, где $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Обозначим высоту прямоугольника через $$x$$. Тогда верхняя сторона прямоугольника находится на расстоянии $$x$$ от основания $$AC$$, а высота треугольника, оставшаяся выше прямоугольника, равна $$10-x$$.

Из подобия треугольников получаем, что длина верхней стороны прямоугольника равна

$$EF=\frac{AC\cdot (10-x)}{10}=\frac{12(10-x)}{10}=\frac{6(10-x)}{5}.$$

Тогда площадь прямоугольника

$$S(x)=x\cdot EF=x\cdot \frac{6(10-x)}{5}=\frac{60x-6x^2}{5}.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{60}{2\cdot 6}=5.$$

Найдём максимальную площадь:

$$S_{\max}=S(5)=\frac{60\cdot 5-6\cdot 5^2}{5}=\frac{300-150}{5}=30.$$

Ответ: $$30\text{ см}^2$$.