Упр.43.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.12. Представьте число 18 в виде суммы трёх неотрицательных чисел так, чтобы два из них относились как 8 : 3, а сумма кубов этих трёх чисел была наименьшей.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — два числа, относящиеся как $$8:3$$. Тогда можно положить

$$x=\frac{8}{3}y,\qquad y=\frac{3}{8}x.$$

Третье число обозначим через $$z$$. По условию

$$x+y+z=18,$$

значит

$$x+\frac{3}{8}x+z=18,$$

$$\frac{11}{8}x+z=18,$$

$$z=18-\frac{11}{8}x.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$f(x)=x^3+\left(\frac{3}{8}x\right)^3+\left(18-\frac{11}{8}x\right)^3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2+\frac{27}{512}x^2-\frac{33}{8}\left(18-\frac{11}{8}x\right)^2.$$

После упрощения получаем

$$f'(x)=\frac{297}{64}x^2-\frac{3267}{16}x+\frac{2673}{2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{297}{64}x^2-\frac{3267}{16}x+\frac{2673}{2}=0,$$

$$297x^2-13068x+85536=0,$$

$$x^2-44x+288=0,$$

$$ (x-8)(x-36)=0.$$

Отсюда $$x=8$$ или $$x=36$$. С учётом неотрицательности чисел и условия $$z=18-\frac{11}{8}x\ge 0$$ получаем

$$8\le x\le 36.$$

Минимум суммы кубов достигается при $$x=8$$. Тогда

$$y=\frac{3}{8}\cdot 8=3,\qquad z=18-8-3=7.$$

Проверка: $$8:3=8:3$$, сумма равна $$18$$.

Ответ

$$18=8+3+7.$$