Упр.43.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.11. Разбейте число 180 на три неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1 : 2, а произведение всех трёх слагаемых было наибольшим.

Пусть искомые слагаемые равны $$x$$, $$y$$ и $$z$$, причём два из них относятся как $$1:2$$. Тогда можно положить

$$y=2x.$$

По условию

$$x+y+z=180,$$

значит

$$x+2x+z=180,$$

$$z=180-3x.$$

Произведение слагаемых:

$$P(x)=xyz=x\cdot 2x \cdot (180-3x)=2x^2(180-3x).$$

Найдём максимум функции на промежутке $$0\le x\le 60$$:

$$P'(x)=4x(180-3x)-6x^2=720x-18x^2=18x(40-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=40$$. На концах промежутка произведение равно нулю, поэтому максимум достигается при $$x=40$$.

Тогда

$$y=2x=80,$$

$$z=180-3x=60.$$

Проверка:

$$40+80+60=180,$$

$$40:80=1:2.$$

Ответ

$$40,\ 80,\ 60.$$