Упр.43.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=2cos(x)-sin(2x), [-?/2; ?/2]; 2) f(x)=2v3cos(x)-2sin(x), [-?/2; ?/2].
$$f(x)=2\cos x-\sin 2x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sin x-2\cos 2x.$$
Приравняем к нулю:
$$ -2\sin x-2\cos 2x=0 $$
$$ \sin x+\cos 2x=0 $$
$$ \sin x+1-2\sin^2 x=0 $$
$$ 2\sin^2 x-\sin x-1=0. $$Положим $$t=\sin x$$. Тогда
$$2t^2-t-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{1+3}{4}=1.$$
Значит, на отрезке нужно проверить точки $$x=-\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}$$ и концы отрезка $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции:
$$ f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\sin(-\pi)=0, $$
$$ f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)-\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) =2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3}{2}, $$
$$ f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\pi=0. $$Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt3}{2},$$ наименьшее — $$0.$$
$$f(x)=2\sqrt3\cos x-2\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sqrt3\sin x-2\cos x.$$
Приравняем к нулю:
$$ -2\sqrt3\sin x-2\cos x=0 $$
$$ \sqrt3\sin x+\cos x=0 $$
$$ \tan x=-\frac{1}{\sqrt3}. $$Отсюда $$x=-\frac{\pi}{6}$$ на данном отрезке.
Проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$$ f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=2\sqrt3\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)-2\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) =2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+1=4, $$
$$ f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\sqrt3\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)-2\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2, $$
$$ f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sqrt3\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2. $$Значит, наибольшее значение функции равно $$4,$$ наименьшее — $$-2.$$
Ответ
1) $$\frac{3\sqrt3}{2};\ 0.$$ 2) $$4;\ -2.$$
