Упр.43.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=3x^2-x^3, [-1; 3]; 2) f(x)=x^4-2x^2+5, [0; 2];
3) f(x)=2x^3+9x^2-60x-7, [-1; 3]; 4) f(x)=(x^2+8)/(x-1), [-3; 0].

Подробный ответ

$$f(x)=3x^2-x^3,\quad x\in[-1;3].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x).$$
Критические точки:
$$3x(2-x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-1)=3\cdot(-1)^2-(-1)^3=3+1=4,$$
$$f(0)=0,$$
$$f(2)=3\cdot 4-8=12-8=4,$$
$$f(3)=3\cdot 9-27=27-27=0.$$
Наибольшее значение равно $$4,$$ наименьшее — $$0.$$
$$f(x)=x^4-2x^2+5,\quad x\in[0;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
На отрезке $$[0;2]$$ критические точки: $$x=0,\; x=1.$$
Вычислим значения функции:
$$f(0)=5,$$
$$f(1)=1-2+5=4,$$
$$f(2)=16-8+5=13.$$
Наибольшее значение равно $$13,$$ наименьшее — $$4.$$
$$f(x)=2x^3+9x^2-60x-7,\quad x\in[-1;3].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^2+18x-60=6(x^2+3x-10)=6(x+5)(x-2).$$
На отрезке $$[-1;3]$$ критическая точка: $$x=2.$$
Вычислим значения функции:
$$f(-1)=2(-1)^3+9(-1)^2-60(-1)-7=-2+9+60-7=60,$$
$$f(2)=2\cdot 8+9\cdot 4-60\cdot 2-7=16+36-120-7=-75,$$
$$f(3)=2\cdot 27+9\cdot 9-60\cdot 3-7=54+81-180-7=-52.$$
Наибольшее значение равно $$60,$$ наименьшее — $$-75.$$
$$f(x)=\frac{x^2+8}{x-1},\quad x\in[-3;0].$$
На отрезке $$[-3;0]$$ точка $$x=1$$ не входит в область определения, поэтому функция определена на всём отрезке.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+8)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2}=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}.$$
Критическая точка на отрезке: $$x=-2.$$
Вычислим значения функции:
$$f(-3)=\frac{9+8}{-3-1}=\frac{17}{-4}=-\frac{17}{4},$$
$$f(-2)=\frac{4+8}{-2-1}=\frac{12}{-3}=-4,$$
$$f(0)=\frac{0+8}{0-1}=-8.$$
Наибольшее значение равно $$-4,$$ наименьшее — $$-8.$$