Упр.42.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=4x-1/3 x^3; 3) f(x)=2x^4-4x^3+2;
2) f(x)=x^3/3+3x^2-7x+4; 4) f(x)=2+x^2+2x^3-2x^4.
$$f(x)=4x-\frac13x^3$$
$$f'(x)=4-x^2$$
Найдём критические точки:
$$4-x^2=0$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2$$
Знак производной меняется так: при $$|x|<2$$ имеем $$f'(x)>0$$, при $$|x|>2$$ — $$f'(x)<0$$. Значит, в точке $$x=-2$$ функция имеет минимум, а в точке $$x=2$$ — максимум.
$$f(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2-7x+4$$
$$f'(x)=x^2+6x-7$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$x^2+6x-7=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=1$$
Так как парабола $$f'(x)$$ ветвями вверх, то $$f'(x)<0$$ на $$(-7,1)$$ и $$f'(x)>0$$ вне этого промежутка. Следовательно, в точке $$x=1$$ — минимум, в точке $$x=-7$$ — максимум.
$$f(x)=2x^4-4x^3+2$$
$$f'(x)=8x^3-12x^2=4x^2(2x-3)$$
Критические точки:
$$4x^2(2x-3)=0$$
$$x=0,\quad x=\frac32$$
Так как $$4x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$2x-3$$. При $$x<\frac32$$ имеем $$f'(x)<0$$, при $$x>\frac32$$ — $$f'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=\frac32$$ функция имеет минимум.
$$f(x)=2+x^2+2x^3-2x^4$$
$$f'(x)=2x+6x^2-8x^3=2x(1+3x-4x^2)$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$2x(1+3x-4x^2)=0$$
$$x=0$$ или $$4x^2-3x-1=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{8}$$
$$x_1=-\frac14,\quad x_2=1$$
Исследование знака производной даёт: в точке $$x=-\frac14$$ — максимум, в точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=1$$ — максимум.
Ответ
1) $$x_{\min}=-2,\ x_{\max}=2$$;
2) $$x_{\min}=1,\ x_{\max}=-7$$;
3) $$x_{\min}=\frac32$$;
4) $$x_{\min}=0,\ x_{\max}=-\frac14,\ x_{\max}=1$$.
