Упр.42.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=12x-x^3; 3) f(x)=x^3-6x^2-15x+7;
2) f(x)=x^4-8x^2+5; 4) f(x)=x^2-x^4/2.
$$f(x)=12x-x^3$$
Найдём производную:
$$f'(x)=12-3x^2=3(4-x^2)=3(2-x)(2+x)$$
Критические точки:
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-2,\; x=2$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } -2<x<2,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>2$$
Значит, в точке $$x=-2$$ — минимум, а в точке $$x=2$$ — максимум.
$$f(x)=x^4-8x^2+5$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$
Критические точки:
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-2,\; 0,\; 2$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<-2,\qquad f'(x)>0 \text{ при } -2<x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } 0<x<2,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>2$$
Следовательно, в точках $$x=-2$$ и $$x=2$$ — минимумы, а в точке $$x=0$$ — максимум.
$$f(x)=x^3-6x^2-15x+7$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-12x-15=3(x^2-4x-5)=3(x+1)(x-5)$$
Критические точки:
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\; 5$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>5,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<5$$
Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=5$$ — минимум.
$$f(x)=x^2-\frac{x^4}{2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-2x^3=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$$
Критические точки:
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\; 0,\; 1$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } -1<x<0 \text{ и } x>1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } 0<x<1$$
Следовательно, в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ — максимумы, а в точке $$x=0$$ — минимум.
Ответ
1) $$x_{\min}=-2,\; x_{\max}=2$$;
2) $$x_{\min}=-2,\; x_{\min}=2,\; x_{\max}=0$$;
3) $$x_{\max}=-1,\; x_{\min}=5$$;
4) $$x_{\min}=0,\; x_{\max}=-1,\; x_{\max}=1$$.
