Упр.42 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(2x-4)?v(5-x);
2) v(x^2+x) < v(x^2+1).

1. Рассмотрим неравенство $$\sqrt{2x-4}\ge \sqrt{5-x}.$$

   Для существования корней нужно, чтобы

   $$2x-4\ge 0,\qquad 5-x\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\ge 2,\qquad x\le 5.$$

   На этой области определения можно возвести обе части неравенства в квадрат:

   $$2x-4\ge 5-x.$$

   Решаем:

   $$3x\ge 9,\qquad x\ge 3.$$

   Пересекаем с ОДЗ:

   $$x\in [3;5].$$

2. Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x^2+x}<\sqrt{x^2+1}.$$

   Для существования корней нужно, чтобы

   $$x^2+x\ge 0,\qquad x^2+1\ge 0.$$

   Второе условие выполняется при всех $$x$$, а первое даёт

   $$x(x+1)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 0.$$

   Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то неравенство равносильно

   $$x^2+x<x^2+1,$$

   то есть

   $$x<1.$$

   Пересекаем с ОДЗ:

   $$(-\infty;-1]\cup[0;1).$$

Ответ

1) $$[3;5]$$; 2) $$(-\infty;-1]\cup[0;1).$$