Упр.42.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ точка $$x_0=2$$ является точкой экстремума функции $$y=x^3-2ax^2+(2a^2-2a)x+9$$?

Найдём производную функции:

$$y=x^3-2ax^2+(2a^2-2a)x+9$$

$$y'(x)=3x^2-4ax+(2a^2-2a)$$

Чтобы точка $$x_0=2$$ была точкой экстремума, необходимо, чтобы

$$y'(2)=0.$$

Подставим $$x=2$$:

$$12-8a+2a^2-2a=0$$

$$2a^2-10a+12=0$$

$$a^2-5a+6=0$$

$$\left(a-2\right)\left(a-3\right)=0$$

Отсюда

$$a=2 \quad \text{или} \quad a=3.$$

Проверим, является ли $$x_0=2$$ точкой экстремума в этих случаях.

При $$a=3$$:

$$y'(x)=3x^2-12x+12=3(x-2)^2,$$

знак производной не меняется, значит, экстремума в точке $$x=2$$ нет.

При $$a=2$$:

$$y'(x)=3x^2-8x+4,$$

$$y'(x)=(3x-2)(x-2).$$

Знак производной при переходе через $$x=2$$ меняется, значит, $$x_0=2$$ — точка экстремума.

Ответ: $$2$$.