Упр.42.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.34. При каких значениях параметра а точка x_0=2 является точкой экстремума функции y=x^3-2ax^2+(2a^2-2a)x+9?

Найдём производную функции:

$$y=x^3-2ax^2+(2a^2-2a)x+9$$

$$y'(x)=3x^2-4ax+(2a^2-2a)$$

Чтобы точка $$x_0=2$$ была точкой экстремума, необходимо, чтобы

$$y'(2)=0$$

Подставим $$x=2$$:

$$12-8a+2a^2-2a=0$$

$$2a^2-10a+12=0$$

$$a^2-5a+6=0$$

$$\left(a-2\right)\left(a-3\right)=0$$

Отсюда

$$a=2 \text{ или } a=3.$$

Проверим, является ли $$x=2$$ точкой экстремума в обоих случаях.

1) При $$a=3$$:

$$y'(x)=3x^2-12x+12=3(x-2)^2.$$

Знак производной не меняется, значит, экстремума в точке $$x=2$$ нет.

2) При $$a=2$$:

$$y'(x)=3x^2-8x+4=(3x-2)(x-2).$$

При переходе через $$x=2$$ производная меняет знак, значит, $$x=2$$ — точка экстремума.

Ответ

$$a=2$$