Упр.42.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.33. При каких значениях параметра а точка x_0=1 является точкой экстремума функции y=x^3-ax^2+(a^2-2a)x-7?

Найдём производную функции:

$$y=x^3-ax^2+(a^2-2a)x-7$$

$$y'(x)=3x^2-2ax+(a^2-2a)$$

Чтобы точка $$x_0=1$$ была точкой экстремума, необходимо, чтобы

$$y'(1)=0.$$

Подставим $$x=1$$:

$$3-2a+a^2-2a=0$$

$$a^2-4a+3=0$$

$$\left(a-1\right)\left(a-3\right)=0$$

Отсюда

$$a=1 \quad \text{или} \quad a=3.$$

Проверим, является ли при этих значениях $$x=1$$ именно точкой экстремума.

1) При $$a=1$$:

$$y'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1).$$

Знак производной меняется при переходе через $$x=1$$, значит, $$x_0=1$$ — точка экстремума.

2) При $$a=3$$:

$$y'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2.$$

Знак производной не меняется, поэтому $$x_0=1$$ не является точкой экстремума.

Ответ

$$a=1$$