Упр.42.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ точка $$x_0=0$$ является точкой максимума функции $$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+(a^2-1)x-9$$?

Найдём производную функции:

$$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+(a^2-1)x-9$$

$$y’=x^2-2ax+(a^2-1)$$

Чтобы точка $$x_0=0$$ была точкой максимума, необходимо, чтобы в этой точке производная обращалась в нуль и меняла знак с плюса на минус. Найдём корни уравнения $$y’=0$$:

$$x^2-2ax+(a^2-1)=0$$

$$D=(-2a)^2-4(a^2-1)=4$$

$$x_{1,2}=\frac{2a\pm 2}{2}=a\pm 1$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то $$y’>0$$ вне корней и $$y'<0$$ между ними. Значит, точка максимума находится в левом корне:

$$x_0=a-1$$

По условию $$x_0=0$$, следовательно,

$$a-1=0$$

$$a=1$$

Ответ

$$1$$