Упр.42.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.32. При каких значениях параметра а точка x_0=0 является точкой максимума функции y=x^3/3-ax^2+(a^2-1)x-9?

Найдём производную функции:

$$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+(a^2-1)x-9$$

$$y’=x^2-2ax+(a^2-1)$$

Точка $$x_0=0$$ является точкой максимума, если производная меняет знак с плюса на минус при переходе через $$0$$. Так как $$y’$$ — квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, это возможно, когда корни уравнения $$y’=0$$ существуют и между ними лежит точка $$0$$.

Решим уравнение:

$$x^2-2ax+(a^2-1)=0$$

$$D=(-2a)^2-4(a^2-1)=4$$

$$x_{1,2}=\frac{2a\pm 2}{2}=a\pm 1$$

Чтобы точка $$x_0=0$$ была точкой максимума, нужно, чтобы она лежала между корнями:

$$a-1<0<a+1$$

Отсюда:

$$a<1 \quad \text{и} \quad a>-1$$

Но при $$a=1$$ имеем корни $$0$$ и $$2$$, и в точке $$0$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума. При $$a=-1$$ точка $$0$$ является корнем, но максимум не получается.

Следовательно,

$$-1<a\le 1$$

Ответ

$$-1<a\le 1$$