Упр.42.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.31. При каких значениях параметра а точка x_0=1 является точкой минимума функции y=x^3/3+ax^2+(a^2-4)x+7?

Найдём производную функции:

$$y=\frac{x^3}{3}+ax^2+(a^2-4)x+7$$

$$y’=x^2+2ax+(a^2-4)$$

Точка $x_0=1$ является точкой минимума, если в этой точке производная обращается в нуль и меняет знак с «−» на «+». Для квадратичной производной это означает, что $x=1$ должен быть одним из её корней, а второй корень должен быть больше 1.

Найдём корни уравнения

$$x^2+2ax+(a^2-4)=0.$$

Дискриминант:

$$D=(2a)^2-4(a^2-4)=4a^2-4a^2+16=16.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-2a\pm 4}{2}=-a\pm 2.$$

Чтобы $x_0=1$ была точкой минимума, нужно, чтобы больший корень был равен 1:

$$-a+2=1.$$

Отсюда

$$a=1.$$

Проверим: при $a=1$ корни производной равны $-3$ и $1$, значит, в точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ

$$1$$