Упр.42.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=\frac{x^3}{3}-\frac{3a-1}{2}x^2+(2a^2-a)x+19$$ имеет положительную точку минимума?

Подробный ответ

Найдём абсциссу точки минимума функции

$$y=\frac{x^3}{3}-\frac{3a-1}{2}x^2+(2a^2-a)x+19.$$

Производная:

$$y’=x^2-(3a-1)x+(2a^2-a).$$

Точка минимума соответствует большему корню уравнения $$y’=0$$, поэтому найдём его корни.

Дискриминант:

$$D=(3a-1)^2-4(2a^2-a)=9a^2-6a+1-8a^2+4a=(a-1)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{3a-1\pm(a-1)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{3a-1-(a-1)}{2}=a,$$

$$x_2=\frac{3a-1+(a-1)}{2}=2a-1.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ в производной положителен, точка минимума соответствует большему корню. Значит, абсцисса точки минимума равна:

$$x_{\min}=\max(a,\,2a-1).$$

Требуется, чтобы точка минимума была положительной, то есть

$$x_{\min}>0.$$

Рассмотрим случаи:

Если $$a\le 1,$$ то $$2a-1\le a,$$ значит $$x_{\min}=a.$$ Тогда нужно $$a>0.$$ Получаем $$0<a\le 1.$$
Если $$a>1,$$ то $$2a-1>a,$$ значит $$x_{\min}=2a-1.$$ Тогда нужно $$2a-1>0,$$ что верно при $$a>1.$$

Итак, положительная точка минимума существует при

$$a\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$