Упр.42.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.30. При каких значениях параметра a функция y=x^3/3-(3a-1)/2 x^2+(2a^2-a)x+19 имеет положительную точку минимума?

Найдём точки экстремума функции

$$y=\frac{x^3}{3}-\frac{3a-1}{2}x^2+(2a^2-a)x+19.$$

Производная:

$$y’=x^2-(3a-1)x+(2a^2-a).$$

Точка минимума существует тогда, когда у уравнения $$y’=0$$ есть два различных корня, и в точке минимума значение функции положительно.

Найдём дискриминант:

$$D=(3a-1)^2-4(2a^2-a)=9a^2-6a+1-8a^2+4a=(a-1)^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{3a-1\pm(a-1)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=a,\qquad x_2=2a-1.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ в производной положителен, то точка минимума соответствует большему корню. Значит, точка минимума имеет абсциссу

$$x_{\min}=\max(a,\,2a-1).$$

Найдём значение функции в точке минимума.

1) Если $$a>1,$$ то $$x_{\min}=2a-1.$$ Подставим:

$$y(2a-1)=\frac{(2a-1)^3}{3}-\frac{3a-1}{2}(2a-1)^2+(2a^2-a)(2a-1)+19.$$

После упрощения получаем

$$y_{\min}=19-\frac{(a-1)^3}{6}.$$

Для положительной точки минимума нужно

$$19-\frac{(a-1)^3}{6}>0,$$

что при $$a>1$$ выполняется.

2) Если $$0<a<1,$$ то $$x_{\min}=a.$$ Тогда

$$y(a)=\frac{a^3}{3}-\frac{3a-1}{2}a^2+(2a^2-a)a+19=19+\frac{a^3}{6}.$$

Это число положительно при всех $$a>0.$$

Следовательно, положительная точка минимума существует при всех $$a>0,$$ а также при $$a=0$$ точка минимума имеет значение $$19>0.$$

Итак, условие выполняется при

$$a\in[0;+\infty).$$

Ответ

$$[0;+\infty).$$