Упр.42.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.29. При каких значениях параметра а функция y=x^3/3-(3a+1)/2 x^2+(2a^2+2a)x-17 имеет положительную точку минимума?

Подробный ответ

Найдём точки экстремума функции

$$y=\frac{x^3}{3}-\frac{3a+1}{2}x^2+(2a^2+2a)x-17.$$

Производная:

$$y’=x^2-(3a+1)x+(2a^2+2a).$$

Точки экстремума определяются из уравнения

$$x^2-(3a+1)x+(2a^2+2a)=0.$$

Дискриминант:

$$D=(3a+1)^2-4(2a^2+2a)=9a^2+6a+1-8a^2-8a=(a-1)^2.$$

Тогда корни:

$$x_{1,2}=\frac{3a+1\pm(a-1)}{2}.$$

Получаем

$$x_1=\frac{3a+1-(a-1)}{2}=a+1,$$

$$x_2=\frac{3a+1+(a-1)}{2}=2a.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ в производной положителен, то точка минимума соответствует меньшему из корней. Чтобы точка минимума была положительной, нужно, чтобы меньший из чисел $$a+1$$ и $$2a$$ был больше нуля.

Рассмотрим случаи:

если $$a+1<2a,$$ то $$a>1,$$ и точка минимума равна $$x_{\min}=a+1>0$$;
если $$2a<a+1,$$ то $$a<1,$$ и точка минимума равна $$x_{\min}=2a>0,$$ откуда $$a>0.$$

Следовательно, положительная точка минимума существует при

$$0<a<1 \quad \text{или} \quad a>1.$$

При $$a=1$$ обе критические точки совпадают и равны $$2>0,$$ значит этот случай тоже подходит.

Итак,

$$a>0.$$