Упр.42.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=sin(x)sin(x-?/4); 2) f(x)=sin^2(x)-cos(x).

1. $$f(x)=\sin x\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\cos x\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sin x\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   По формуле синуса суммы:

   $$f'(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Критические точки определяются из уравнения

   $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

   $$2x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

   При чётных $n$ получаем точки минимума:

   $$x=\frac{\pi}{8}+\pi n$$

   При нечётных $n$ получаем точки максимума:

   $$x=-\frac{3\pi}{8}+\pi n$$

2. $$f(x)=\sin^2 x-\cos x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\sin x\cos x+\sin x$$

   $$f'(x)=\sin x(2\cos x+1)$$

   Решаем уравнение

   $$\sin x(2\cos x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n$$

   или

   $$2\cos x+1=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

   Точки минимума:

   $$x=\pi n$$

   Точки максимума:

   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

Ответ

1) $$x_{\min}=\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad x_{\max}=-\frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x_{\min}=\pi n,\quad x_{\max}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$