Упр.42.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x^2 v(x+2); 2) f(x)=(x-2)^2 vx; 3) f(x)=(3x+1)/v(x-1).

1. $$f(x)=x^2\sqrt{x+2}$$

   Область определения: $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2x\sqrt{x+2}+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} =\frac{4x(x+2)+x^2}{2\sqrt{x+2}} =\frac{5x^2+8x}{2\sqrt{x+2}} =\frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}}. $$

   Знаменатель положителен при $$x>-2,$$ поэтому знак $$f'(x)$$ определяется числителем:

   $$x(5x+8)\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac85,\; x=0.$$

   Проверяем знаки на промежутках области определения:

   • на $$[-2;-\frac85]$$ функция возрастает;
   • на $$[-\frac85;0]$$ функция убывает;
   • на $$[0;+\infty)$$ функция возрастает.

   Следовательно, в точке $$x=-\frac85$$ — максимум, а в точке $$x=0$$ — минимум.

2. $$f(x)=(x-2)^2\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2(x-2)\sqrt{x}+(x-2)^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{(x-2)(4x+x-2)}{2\sqrt{x}} =\frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}}. $$

   При $$x>0$$ знаменатель положителен, значит знак производной определяется выражением $$ (x-2)(5x-2). $$

   Критические точки: $$x=\frac25,\; x=2.$$

   Проверяем знаки:

   • на $$[0;\frac25]$$ функция возрастает;
   • на $$[\frac25;2]$$ функция убывает;
   • на $$[2;+\infty)$$ функция возрастает.

   Значит, в точке $$x=\frac25$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

3. $$f(x)=\frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}$$

   Область определения: $$x-1>0,\quad x>1.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{3\sqrt{x-1}-\frac{3x+1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1} =\frac{6(x-1)-(3x+1)}{2(x-1)\sqrt{x-1}} =\frac{3x-7}{2(x-1)\sqrt{x-1}}. $$

   При $$x>1$$ знаменатель положителен, поэтому знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$3x-7.$$

   Критическая точка: $$x=\frac73.$$

   Тогда:

   • на $$\left(1;\frac73\right)$$ функция убывает;
   • на $$\left(\frac73;+\infty\right)$$ функция возрастает.

   Следовательно, в точке $$x=\frac73$$ — минимум.

Ответ

1) Возрастает на $$[-2;-\frac85]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-\frac85;0]$$; экстремумы: $$x_{\max}=-\frac85,$$ $$x_{\min}=0.$$
2) Возрастает на $$[0;\frac25]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[\frac25;2]$$; экстремумы: $$x_{\max}=\frac25,$$ $$x_{\min}=2.$$
3) Убывает на $$\left(1;\frac73\right)$$, возрастает на $$\left(\frac73;+\infty\right)$$; экстремум: $$x_{\min}=\frac73.$$