Упр.42.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=x^2 v(1-x); 2) f(x)=vx/(x+1); 3) f(x)=(2x-7)/v(3-x).
$$f(x)=x^2\sqrt{1-x}$$
Область определения: $$1-x\ge 0,$$ значит $$x\le 1.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=2x\sqrt{1-x}-\frac{x^2}{2\sqrt{1-x}} =\frac{4x(1-x)-x^2}{2\sqrt{1-x}} =\frac{x(4-5x)}{2\sqrt{1-x}}. $$
На области определения знаменатель положителен при $$x<1,$$ поэтому знак $$f'(x)$$ определяется выражением $$x(4-5x).$$
$$ x(4-5x)\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\in\left[0;\frac45\right]. $$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[0;\frac45\right],$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$\left[\frac45;1\right].$$
Точки экстремума: $$x_{\min}=0,$$ $$x_{\max}=\frac45.$$
$$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2} =\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}. $$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$1-x.$$
$$ 1-x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 1. $$
Значит, функция возрастает на $$[0;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$
Точка экстремума: $$x_{\max}=1.$$
$$f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$$
Область определения: $$3-x>0,$$ значит $$x<3.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{2\sqrt{3-x}+\frac{2x-7}{2\sqrt{3-x}}}{3-x} =\frac{4(3-x)+2x-7}{2(3-x)\sqrt{3-x}} =\frac{5-2x}{2(3-x)\sqrt{3-x}}. $$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением $$5-2x.$$
$$ 5-2x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le \frac52. $$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;\frac52],$$ убывает на $$[\frac52;3).$$
Точка экстремума: $$x_{\max}=\frac52.$$
Ответ
1) Возрастает на $$\left[0;\frac45\right],$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$\left[\frac45;1\right];$$ $$x_{\min}=0,$$ $$x_{\max}=\frac45.$$
2) Возрастает на $$[0;1],$$ убывает на $$[1;+\infty);$$ $$x_{\max}=1.$$
3) Возрастает на $$(-\infty;\frac52],$$ убывает на $$[\frac52;3);$$ $$x_{\max}=\frac52.$$
