Упр.42.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.23. При каких значениях a функция y=1/3 x^3-2ax^2+4x-15 имеет только одну критическую точку?

Найдём производную функции:

$$y=\frac13x^3-2ax^2+4x-15$$

$$y’ = x^2-4ax+4$$

Критические точки функции — это значения $$x$$, при которых $$y’=0$$. Чтобы функция имела только одну критическую точку, квадратное уравнение

$$x^2-4ax+4=0$$

должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(-4a)^2-4\cdot 1\cdot 4=16a^2-16$$

$$16a^2-16=0$$

$$a^2=1$$

$$a=\pm 1$$

При этих значениях параметра уравнение для производной имеет один корень, значит, функция имеет только одну критическую точку.

Ответ

$$a=-1,\;1$$