Упр.42.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.22. При каких значениях а функция y=x^3-3ax^2+27x-5 имеет только одну критическую точку?

Найдём производную функции:

$$y=x^3-3ax^2+27x-5$$

$$y’=3x^2-6ax+27$$

Критические точки находятся из уравнения $$y’=0$$:

$$3x^2-6ax+27=0$$

Разделим на $$3$$:

$$x^2-2ax+9=0$$

Чтобы функция имела только одну критическую точку, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 9=4a^2-36$$

$$4a^2-36=0$$

$$a^2=9$$

$$a=\pm 3$$

Ответ

$$a=-3,\ 3$$