Упр.42.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=cos(x)+x/2; 2) f(x)=sin(2x)-xv2.

1) $$f(x)=\cos x+\frac{x}{2}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\sin x+\frac12=\frac12-\sin x.$$

Функция возрастает там, где $$f'(x)\ge 0$$, то есть

$$\frac12-\sin x\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin x\le \frac12.$$

Это выполняется при

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция убывает там, где $$f'(x)\le 0$$, то есть

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

В точках, где производная меняет знак с «+» на «−», получаем максимум, а с «−» на «+» — минимум. Поэтому

$$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x_{\min}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$f(x)=\sin 2x-x\sqrt2$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cos 2x-\sqrt2.$$

Функция возрастает там, где $$f'(x)\ge 0$$:

$$2\cos 2x-\sqrt2\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos 2x\ge \frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n \le x \le \frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция убывает там, где $$f'(x)\le 0$$:

$$\frac{\pi}{8}+\pi n \le x \le \frac{7\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x_{\min}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) Возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$$; $$x_{\min}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{\pi}{8}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{7\pi}{8}+\pi n\right]$$; $$x_{\min}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\ x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$