Упр.42.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x/2-sin(x); 2) f(x)=cos(2x)-xv3.

1. $$f(x)=\frac{x}{2}-\sin x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac12-\cos x$$

   Критические точки получаем из уравнения

   $$\frac12-\cos x=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x=\frac12$$

   Отсюда

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Знак производной:

   $$f'(x)>0 \iff \cos x<\frac12$$

   $$f'(x)<0 \iff \cos x>\frac12$$

   Следовательно, функция возрастает на промежутках

   $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z$$

   и убывает на промежутках

   $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z$$

   В точке $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит это точка минимума.

   В точке $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит это точка максимума.

2. $$f(x)=\cos 2x-x\sqrt3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-2\sin 2x-\sqrt3$$

   Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

   $$-2\sin 2x-\sqrt3\ge 0$$

   $$\sin 2x\le -\frac{\sqrt3}{2}$$

   Это выполняется при

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Делим на 2:

   $$-\frac{\pi}{3}+\pi n\le x\le -\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Значит, функция возрастает на промежутках

   $$\left[-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,-\frac{\pi}{6}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z$$

   и убывает на промежутках

   $$\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z$$

   В точке $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит это точка минимума.

   В точке $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит это точка максимума.

Ответ

1) Возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$;
$$x_{\min}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x_{\max}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

2) Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,-\frac{\pi}{6}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$;
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+\pi n.$$