Упр.42 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$v(2x-4)?v(5-x)$$;
2. $$v(x^2+x)

1) Рассмотрим область определения:

$$2x-4 \ge 0,\qquad 5-x \ge 0.$$

Тогда неравенство

$$\sqrt{2x-4}\ge \sqrt{5-x}$$

равносильно системе

$$\begin{cases} 2x-4 \ge 5-x,\\ 2x-4 \ge 0,\\ 5-x \ge 0. \end{cases}$$

Из первого неравенства получаем:

$$3x \ge 9,\qquad x \ge 3.$$

С учётом области определения:

$$x \ge 2,\qquad x \le 5.$$

Пересечение условий:

$$3 \le x \le 5.$$

Ответ: $$[3;5].$$

2) Область определения:

$$x^2+x \ge 0.$$

Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то

$$\sqrt{x^2+x}<\sqrt{x^2+1}$$

равносильно системе

$$\begin{cases} x^2+x < x^2+1,\\ x^2+x \ge 0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$x<1.$$

Из второго:

$$x(x+1)\ge 0,$$

откуда

$$x \le -1 \quad \text{или} \quad x \ge 0.$$

Пересекаем с условием $$x<1$$:

$$(-\infty;-1]\cup[0;1).$$

Ответ: $$(-\infty;-1]\cup[0;1).$$