Упр.42.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 42.18. Верно ли утверждение: если (M)maxf(x)=f(x_0), x_0?M, и функция f дифференцируема в точке x_0, то f'(x_0)=0?

Утверждение неверно. Достаточно привести контрпример.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2$$ на множестве $$M=[0;4].$$

Тогда на этом промежутке наибольшее значение функции достигается в точке $$x_0=4$$:

$$\max\limits_{x\in M} f(x)=f(4)=16.$$

Функция $$f(x)=x^2$$ дифференцируема в точке $$x_0=4$$, причём

$$f'(x)=2x,$$

$$f'(4)=8\neq 0.$$

Следовательно, из того, что в точке $$x_0$$ достигается максимум функции, не следует, что $$f'(x_0)=0$$, если точка $$x_0$$ является концом промежутка.

Ответ

Нет.