Упр.42.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Верно ли утверждение: если $$\max_{x\in M} f(x)=f(x_0),\quad x_0\in M$$, и функция $$f$$ дифференцируема в точке $$x_0$$, то $$f'(x_0)=0$$?

Утверждение неверно.

Достаточно рассмотреть пример:

$$f(x)=x^2,\quad M=[0;4].$$

На отрезке $$M$$ функция достигает максимума в точке $$x_0=4$$:

$$\max_{x\in M} f(x)=f(4)=16.$$

При этом производная функции равна

$$f'(x)=2x,$$

и в точке максимума

$$f'(4)=8\ne 0.$$

Следовательно, если функция достигает максимума в точке $$x_0\in M$$ и дифференцируема в этой точке, то вовсе не обязательно, что $$f'(x_0)=0$$.

Ответ: нет.