Упр.42.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) в точке экстремума производная функции равна нулю;
2) если функция в некоторой точке недифференцируема, то эта точка является точкой экстремума функции?

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=|x|.$$
   При $$x>0$$ имеем $$f(x)=x,$$ значит $$f'(x)=1.$$
   При $$x<0$$ имеем $$f(x)=-x,$$ значит $$f'(x)=-1.$$
   В точке $$x=0$$ производная не существует, но именно в этой точке функция имеет минимум.
   Следовательно, утверждение неверно: в точке экстремума производная не обязана равняться нулю.
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{x}.$$
   Её производная равна $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}, \quad x\ne 0.$$
   В точке $$x=0$$ функция не определена, поэтому производная там не существует, но точки экстремума у этой функции нет.
   Следовательно, утверждение тоже неверно: недифференцируемость в точке не означает, что это точка экстремума.

Ответ

1) нет; 2) нет.