Упр.42.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) значение функции в точке максимума может быть меньше значения функции в точке минимума;
2) функция в точке экстремума может быть недифференцируемой;
3) если производная в некоторой точке равна нулю, то эта точка является точкой экстремума функции?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(x)=x+\frac{9}{x}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{9}{x^2}.$$
Критические точки получаем из уравнения
$$1-\frac{9}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=9 \;\Rightarrow\; x=\pm 3.$$
Значения функции в этих точках:
$$f(3)=3+\frac{9}{3}=6,$$
$$f(-3)=-3+\frac{9}{-3}=-6.$$
Следовательно, в точке максимума значение функции может быть меньше, чем в точке минимума.
Рассмотрим функцию $$f(x)=|x|.$$
Её можно записать так:
$$f(x)= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$
В точке $$x=0$$ функция имеет экстремум, но производная в этой точке не существует:
$$f'(0)\text{ не существует}.$$
Значит, функция в точке экстремума может быть недифференцируемой.
Утверждение неверно. Например, для функции $$f(x)=x^3$$
$$f'(x)=3x^2.$$
В точке $$x=0$$ имеем
$$f'(0)=0,$$
но эта точка не является точкой экстремума, так как функция $$x^3$$ возрастает на всей области определения.