Упр.42.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=(x^2-6x)/(x+2); 3) f(x)=x^2/(x^2+3); 5) f(x)=1/(16-x^2);
2) f(x)=x+9/x; 4) f(x)=1/(x+1)^2; 6) f(x)=2x-vx.

1. $$f(x)=\frac{x^2-6x}{x+2}$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{(2x-6)(x+2)-(x^2-6x)}{(x+2)^2} =\frac{x^2+4x-12}{(x+2)^2} =\frac{(x+6)(x-2)}{(x+2)^2}. $$

   Так как $$ (x+2)^2>0 $$ при $$ x\ne -2 $$, знак производной определяется числителем.

   $$f'(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;-6]\cup[2;+\infty),$$

   $$f'(x)<0$$ при $$x\in[-6;-2)\cup(-2;2].$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-6]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[-6;-2)\cup(-2;2].$$

   В точке $$x=-6$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума. В точке $$x=2$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.

2. $$f(x)=x+\frac{9}{x}, \quad x\ne 0$$

   $$ f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}. $$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то

   $$f'(x)>0$$ при $$|x|\ge 3,$$

   $$f'(x)<0$$ при $$x\in[-3;0)\cup(0;3].$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-3;0)\cup(0;3].$$

   В точке $$x=-3$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.

3. $$f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}$$

   $$ f'(x)=\frac{2x(x^2+3)-2x\cdot x^2}{(x^2+3)^2} =\frac{6x}{(x^2+3)^2}. $$

   Так как $$ (x^2+3)^2>0 $$ при всех $$x,$$ знак производной определяется знаком $$x$$.

   $$f'(x)<0$$ при $$x<0,$$

   $$f'(x)=0$$ при $$x=0,$$

   $$f'(x)>0$$ при $$x>0.$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0],$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$

   В точке $$x=0$$ — минимум.

4. $$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$$

   $$ f'(x)=-\frac{2}{(x+1)^3}. $$

   Производная положительна при $$x<-1$$ и отрицательна при $$x>-1.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1),$$ убывает на $$(-1;+\infty).$$

   Точек экстремума нет, так как в точке $$x=-1$$ функция не определена.

5. $$f(x)=\frac{1}{16-x^2}, \quad x\ne \pm 4$$

   $$ f'(x)=\frac{2x}{(16-x^2)^2}. $$

   Так как $$ (16-x^2)^2>0 $$ при $$x\ne \pm 4,$$ знак производной определяется знаком $$x$$.

   $$f'(x)<0$$ при $$x<0,$$

   $$f'(x)=0$$ при $$x=0,$$

   $$f'(x)>0$$ при $$x>0.$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0],$$ возрастает на $$[0;4)\cup(4;+\infty).$$

   В точке $$x=0$$ — минимум.

6. $$f(x)=2x-\sqrt{x}, \quad x\ge 0$$

   $$ f'(x)=2-\frac{1}{2\sqrt{x}}. $$

   Найдём, где $$f'(x)\ge 0$$:

   $$ 2-\frac{1}{2\sqrt{x}}\ge 0 \iff 4\sqrt{x}\ge 1 \iff \sqrt{x}\ge \frac14 \iff x\ge \frac{1}{16}. $$

   Значит, функция убывает на $$\left[0;\frac{1}{16}\right],$$ возрастает на $$\left[\frac{1}{16};+\infty\right).$$

   В точке $$x=\frac{1}{16}$$ — минимум.

Ответ

1. Возрастает на $$(-\infty;-6]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[-6;-2)\cup(-2;2].$$ $$x_{\max}=-6,$$ $$x_{\min}=2.$$
2. Возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-3;0)\cup(0;3].$$ $$x_{\max}=-3,$$ $$x_{\min}=3.$$
3. Возрастает на $$[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0].$$ $$x_{\min}=0.$$
4. Возрастает на $$(-\infty;-1),$$ убывает на $$(-1;+\infty).$$ Точек экстремума нет.
5. Возрастает на $$[0;4)\cup(4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0].$$ $$x_{\min}=0.$$
6. Возрастает на $$\left[\frac{1}{16};+\infty\right),$$ убывает на $$\left[0;\frac{1}{16}\right].$$ $$x_{\min}=\frac{1}{16}.$$