Упр.42.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=x+4/x^2; 3) f(x)=x^2/4+9/x^2; 5) f(x)=x^2/(x^2-16);
2) f(x)=(x^2-3)/(x-2); 4) f(x)=-1/(x-3)^2; 6) f(x)=2vx-x.
1) $$f(x)=x+\frac{4}{x^2}$$
$$f'(x)=1-\frac{8}{x^3}=\frac{x^3-8}{x^3}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}.$$
Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется выражением $$\frac{x-2}{x}.$$
Тогда $$f'(x)>0$$ при $$x<0$$ и $$x>2,$$ а $$f'(x)<0$$ при $$0<x<2.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$ (0;2).$$
В точке $$x=2$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
2) $$f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
$$f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2-3)}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}.$$
Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется выражением $$ (x-1)(x-3). $$
$$f'(x)>0$$ при $$x<1$$ и $$x>3,$$ а $$f'(x)<0$$ при $$1<x<3,$$ с учётом разрыва в точке $$x=2.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[1;2)\cup(2;3].$$
В точке $$x=1$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.
3) $$f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{9}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
$$f'(x)=\frac{x}{2}-\frac{18}{x^3}=\frac{x^4-36}{2x^3}=\frac{(x^2-6)(x^2+6)}{2x^3}.$$
Так как $$x^2+6>0,$$ знак производной определяется выражением $$\frac{x^2-6}{x^3}.$$
Отсюда функция возрастает на $$[-\sqrt6;0)\cup[\sqrt6;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt6]\cup(0;\sqrt6].$$
В точках $$x=-\sqrt6$$ и $$x=\sqrt6$$ — точки минимума.
4) $$f(x)=-\frac{1}{(x-3)^2}$$
Область определения: $$x\ne 3.$$
$$f'(x)=\frac{2}{(x-3)^3}.$$
Тогда $$f'(x)<0$$ при $$x<3,$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>3.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;3),$$ возрастает на $$(3;+\infty).$$
Точек экстремума нет.
5) $$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$
Область определения: $$x\ne \pm 4.$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-16)-2x\cdot x^2}{(x^2-16)^2}=\frac{-32x}{(x^2-16)^2}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne \pm 4,$$ знак производной определяется знаком $$-x.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0],$$ убывает на $$[0;4)\cup(4;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ — точка максимума.
6) $$f(x)=2\sqrt{x}-x$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-1.$$
$$f'(x)>0$$ при $$0<x<1,$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ — точка максимума.
Ответ
1) возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(0;2),$$ минимум при $$x=2$$;
2) возрастает на $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[1;2)\cup(2;3],$$ максимум при $$x=1,$$ минимум при $$x=3$$;
3) возрастает на $$[-\sqrt6;0)\cup[\sqrt6;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt6]\cup(0;\sqrt6],$$ минимумы при $$x=\pm\sqrt6$$;
4) убывает на $$(-\infty;3),$$ возрастает на $$(3;+\infty),$$ точек экстремума нет;
5) возрастает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0],$$ убывает на $$[0;4)\cup(4;+\infty),$$ максимум при $$x=0$$;
6) возрастает на $$[0;1],$$ убывает на $$[1;+\infty),$$ максимум при $$x=1$$.
