Упр.42.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=3x^4-8x^3+6x^2-9; 2) f(x)=(x+4)^4 (x-3)^3.

1. $$f(x)=3x^4-8x^3+6x^2-9$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=12x^3-24x^2+12x$$

   Вынесем общий множитель:

   $$f'(x)=12x(x^2-2x+1)=12x(x-1)^2$$

   Так как $$12>0$$ и $$ (x-1)^2\ge 0 $$ при всех $$x$$, знак производной определяется знаком $$x$$:

   $$f'(x)<0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>0.$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.

   В точке $$x=0$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, здесь минимум:

   $$f(0)=-9.$$

2. $$f(x)=(x+4)^4(x-3)^3$$

   Найдём производную по правилу произведения:

   $$f'(x)=4(x+4)^3(x-3)^3+3(x-3)^2(x+4)^4$$

   Вынесем общий множитель:

   $$f'(x)=(x+4)^3(x-3)^2\bigl(4(x-3)+3(x+4)\bigr)$$

   $$f'(x)=(x+4)^3(x-3)^2(7x)$$

   Итак,

   $$f'(x)=7x(x+4)^3(x-3)^2.$$

   Так как $$7>0$$ и $$ (x-3)^2\ge 0 $$, знак производной определяется выражением $$x(x+4)^3$$, то есть знаком произведения $$x(x+4)$$:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x<-4 \text{ и } x>0,$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } -4<x<0.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[0;+\infty)$$ и убывает на $$[-4;0]$$.

   В точке $$x=-4$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, здесь максимум:

   $$f(-4)=0.$$

   В точке $$x=0$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, здесь минимум:

   $$f(0)=(-4)^4\cdot(-3)^3=-6912.$$

Ответ

1) Функция убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; $$x_{\min}=0$$, $$f(0)=-9$$.

2) Функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-4;0]$$; максимум при $$x=-4$$, $$f(-4)=0$$, минимум при $$x=0$$, $$f(0)=-6912$$.