Упр.41.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=9+4x^3-x^4; 3) f(x)=(x^2+5x)/(x-4);
2) f(x)=3x+12/x^2; 4) f(x)=x^2/(x^2-4).

Подробный ответ

$$f(x)=9+4x^3-x^4$$
Найдём производную:
$$f'(x)=12x^2-4x^3=4x^2(3-x).$$
Так как $$4x^2 \ge 0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$3-x$$:
$$f'(x)\ge 0 \iff x\le 3,$$
$$f'(x)\le 0 \iff x\ge 3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty; 3]$$ и убывает на $$[3; +\infty).$$
$$f(x)=3x+\frac{12}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3-\frac{24}{x^3}=\frac{3x^3-24}{x^3}=3\cdot \frac{x^3-8}{x^3}=3\cdot \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}.$$
Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$\frac{x-2}{x^3}.$$
Исследуем знаки на промежутках, разделённых точками $$0$$ и $$2$$:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;2).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2].$$
$$f(x)=\frac{x^2+5x}{x-4}$$
Область определения: $$x\ne 4.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(2x+5)(x-4)-(x^2+5x)}{(x-4)^2}.$$
Упростим числитель:
$$f'(x)=\frac{2x^2-8x+5x-20-x^2-5x}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x-20}{(x-4)^2}.$$
Так как $$ (x-4)^2>0 $$ при $$x\ne 4$$, знак производной определяется квадратным трёхчленом:
$$x^2-8x-20=(x+2)(x-10).$$
Тогда
$$f'(x)\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge 10,$$
$$f'(x)\le 0 \iff -2\le x\le 10,\; x\ne 4.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[10;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;4)\cup(4;10].$$
$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}$$
Область определения: $$x\ne \pm 2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-2x\cdot x^2}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne \pm 2$$, знак производной определяется числителем $$-8x$$:
$$f'(x)\ge 0 \iff x\le 0,$$
$$f'(x)\le 0 \iff x\ge 0.$$
С учётом разрывов в точках $$x=\pm 2$$ получаем:
функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$ и убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty).$$