Упр.41 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) v(x^2+3x-2)+v(x^2-x+1)=4x-3;
2) (v(x+1)+1)(v(x+1)+x^2+x-7)=x.
Пусть
$$a=\sqrt{x^2+3x-2}, \quad b=\sqrt{x^2-x+1}.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$a+b=4x-3.$$
Возведём в квадрат:
$$a^2+2ab+b^2=(4x-3)^2.$$
Подставим выражения для $a^2$ и $b^2$:
$$x^2+3x-2+2\sqrt{(x^2+3x-2)(x^2-x+1)}+x^2-x+1=16x^2-24x+9.$$
После преобразований получаем
$$\sqrt{(x^2+3x-2)(x^2-x+1)}=2x-2.$$
Снова возведём в квадрат:
$$ (x^2+3x-2)(x^2-x+1)=4(x-1)^2.$$
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем
$$3x^2-7x+3=0.$$
Найдём корни:
$$D=49-36=13,$$
$$x=\frac{7\pm\sqrt{13}}{6}.$$
Проверим область допустимых значений:
$$4x-3\ge 0,\qquad 2x-2\ge 0,$$
откуда $$x\ge 1.$$
Подходит только
$$x=\frac{7+\sqrt{13}}{6}.$$
Пусть
$$y=\sqrt{x+1}, \quad y\ge 0,\quad x=y^2-1.$$
Тогда уравнение перепишется так:
$$ (y+1)\bigl(y+y^2-1+y^2-1-7\bigr)=y^2-1.$$
Упростим:
$$ (y+1)(y^4-y^2+y-7)=y^2-1.$$
Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:
$$ (y+1)(y^4-y^2+y-7)-(y^2-1)=0,$$
$$ (y+1)(y^4-y^2+y-7)=(y-1)(y+1).$$
Так как $y\ge 0$, то $y+1\ne 0$, значит
$$y^4-y^2+y-7=y-1,$$
$$y^4-y^2-6=0.$$
Обозначим $$t=y^2.$$ Тогда
$$t^2-t-6=0,$$
$$ (t-3)(t+2)=0.$$
С учётом $t=y^2\ge 0$ получаем $$t=3,$$ значит
$$y=\sqrt{3}.$$
Тогда
$$\sqrt{x+1}=\sqrt{3}, \quad x=2.$$
Ответ
1) $$x=\frac{7+\sqrt{13}}{6}$$; 2) $$x=2$$.
