Упр.41.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.30. Решите систему уравнений {2x-2y=cos(y)-cos(x), x+y=8}.

Рассмотрим первое уравнение системы:

$$2x-2y=\cos y-\cos x.$$

Перенесём слагаемые:

$$2x+\cos x=2y+\cos y.$$

Введём функцию $$f(t)=2t+\cos t.$$ Тогда

$$f'(t)=2-\sin t>0,$$

значит, функция $$f(t)$$ строго возрастает. Следовательно, из равенства $$f(x)=f(y)$$ получаем:

$$x=y.$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$x+y=8,$$

$$x+x=8,$$

$$2x=8,$$

$$x=4.$$

Тогда

$$y=4.$$

Ответ

$$\left(4;\,4\right)$$