Упр.41.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=1/4 x^4-1/3 x^3-7; 3) f(x)=x+9/x;
2) f(x)=x^2+2/x; 4) f(x)=(x^2-2x+1)/(3-x).

Подробный ответ

$$f(x)=\frac14x^4-\frac13x^3-7$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^3-x^2=x^2(x-1).$$
Так как $$x^2\ge 0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x-1$$. Поэтому
$$f'(x)\le 0 \text{ при } x\le 1,\qquad f'(x)\ge 0 \text{ при } x\ge 1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
$$f(x)=x^2+\frac{2}{x},\qquad x\ne 0$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется выражением $$x^3-1$$:
$$f'(x)\le 0 \text{ при } x\le 1,\qquad f'(x)\ge 0 \text{ при } x\ge 1.$$
С учётом области определения $$x\ne 0$$ получаем:
функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
$$f(x)=x+\frac{9}{x},\qquad x\ne 0$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется числителем $$x^2-9$$:
$$f'(x)\ge 0 \text{ при } |x|\ge 3,\qquad f'(x)\le 0 \text{ при } 0<|x|\le 3.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)$$ и убывает на $$[-3;0)\cup(0;3].$$
$$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{3-x},\qquad x\ne 3$$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{(2x-2)(3-x)+(x^2-2x+1)}{(3-x)^2}.$$
Упростим числитель:
$$ (2x-2)(3-x)+(x^2-2x+1) =6x-6-2x^2+2x+x^2-2x+1 =-x^2+6x-5. $$
Тогда
$$f'(x)=\frac{-x^2+6x-5}{(3-x)^2}=\frac{-(x^2-6x+5)}{(3-x)^2}.$$
Так как $$ (3-x)^2>0 $$ при $$x\ne 3$$, знак производной определяется выражением $$-x^2+6x-5$$:
$$-x^2+6x-5\ge 0 \iff x^2-6x+5\le 0 \iff (x-1)(x-5)\le 0.$$
Отсюда $$f'(x)\ge 0$$ при $$1\le x\le 5$$, но точка $$x=3$$ не входит в область определения.
Следовательно, функция возрастает на $$[1;3)\cup(3;5]$$ и убывает на $$(-\infty;1]\cup[5;+\infty).$$