Упр.41.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.29. Решите систему уравнений {x-y=sin(x)-sin(y), 3x+4y=7}.

Рассмотрим первое уравнение системы:

$$x-y=\sin x-\sin y$$

Перенесём слагаемые с одинаковыми переменными в разные части:

$$x-\sin x=y-\sin y$$

Обозначим $$f(t)=t-\sin t$$. Тогда

$$f'(t)=1-\cos t\ge 0$$

Следовательно, функция $$f(t)$$ неубывает, а значит из равенства $$f(x)=f(y)$$ получаем:

$$x=y$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$3x+4y=7$$

$$3x+4x=7$$

$$7x=7$$

$$x=1$$

Тогда

$$y=1$$

Ответ

$$ (1;\,1) $$