Упр.41.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.28. Решите неравенство x^5+4x < 2x^3+3.

Перенесём всё в левую часть:

$$x^5+4x-2x^3-3<0.$$

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x^5-2x^3+4x-3.$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=5x^4-6x^2+4.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$f'(x)=5t^2-6t+4.$$

Дискриминант этого квадратного трёхчлена:

$$D=(-6)^2-4\cdot 5\cdot 4=36-80=-44<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$f'(x)>0$$

при всех $$x\in \mathbb{R}$$. Значит, функция $$f(x)$$ строго возрастает на всей числовой прямой.

Найдём её значение при $$x=1$$:

$$f(1)=1-2+4-3=0.$$

Так как функция строго возрастает и в точке $$x=1$$ обращается в нуль, то

$$f(x)<0 \iff x<1.$$

Ответ

$$(-\infty;1).$$