Упр.41.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.27. Решите неравенство x^7+3x > 2x^4+2.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x^7+3x-2x^4-2.$$

Тогда данное неравенство равносильно

$$f(x)>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=7x^6+3-8x^3.$$

Обозначим $$t=x^3$$. Тогда

$$f'(x)=7t^2-8t+3.$$

Дискриминант этого квадратного трёхчлена:

$$D=(-8)^2-4\cdot 7\cdot 3=64-84=-20<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$7t^2-8t+3>0$$

при всех $$t$$, значит

$$f'(x)>0$$

для всех $$x\in \mathbb{R}$$. Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Найдём её значение при $$x=1$$:

$$f(1)=1+3-2-2=0.$$

Так как функция возрастает и в точке $$x=1$$ обращается в нуль, то

$$f(x)>0 \iff x>1.$$

Ответ

$$\left(1;+\infty\right).$$