Упр.41.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.26. Решите уравнение x^3+2x=sin(x).

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3+2x-\sin x.$$ Тогда исходное уравнение равносильно уравнению $$f(x)=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2+2-\cos x.$$

Так как $$\cos x\le 1,$$ то

$$f'(x)\ge 3x^2+2-1=3x^2+1>0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение $$f(x)=0$$ может иметь не более одного корня.

Проверим число $$x=0$$:

$$0^3+2\cdot 0=\sin 0,$$

то есть $$0$$ — корень уравнения.

Так как корень может быть только один, получаем единственное решение:

Ответ

$$x=0$$