Упр.41.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.23. Докажите неравенство x < tg(x), где x?(0; ?/2).

Рассмотрим функцию $$f(x)=x-\tg x,\quad x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=1-\frac{1}{\cos^2 x}=1-\sec^2 x=-\tg^2 x<0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ убывает на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Кроме того, при $$x\to 0+$$ имеем $$f(x)\to 0,$$ то есть на этом промежутке $$f(x)<0.$$

Следовательно,

$$x-\tg x<0,$$

откуда

$$x<\tg x.$$

Ответ

$$x<\tg x,\quad x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$