Упр.41.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.22. Докажите неравенство cos(x)?1-x^2/2.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}.$$

Найдём её производные:

$$f'(x)=-\sin x+x,$$

$$f»(x)=1-\cos x\ge 0.$$

Значит, функция $$f'(x)$$ не убывает на всей числовой прямой. При этом

$$f'(0)=-\sin 0+0=0.$$

Следовательно, для всех $$x$$ выполняется $$f'(x)\ge 0$$ при $$x\ge 0$$ и, в частности, функция $$f(x)$$ достигает минимума в точке $$x=0$$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$$f(0)=\cos 0-1+\frac{0^2}{2}=1-1+0=0.$$

Тогда

$$f(x)\ge 0,$$

то есть

$$\cos x-1+\frac{x^2}{2}\ge 0.$$

Переносим слагаемые:

$$\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}.$$

Ответ

$$\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}.$$