Упр.41.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.21. При каких значениях параметра a функция y=(a+3)x^3+3(a+3)x^2-5x+12 убывает на R?

Функция убывает на всей R, если её производная не положительна при всех значениях x.

Найдём производную:

$$y=(a+3)x^3+3(a+3)x^2-5x+12$$

$$y’ = 3(a+3)x^2+6(a+3)x-5$$

Это квадратный трёхчлен по x. Чтобы он был не положителен при всех x, необходимо и достаточно, чтобы:

1) старший коэффициент был неположительным;

2) дискриминант был неположительным.

Имеем:

$$3(a+3)\le 0 \quad \Rightarrow \quad a+3\le 0$$

Найдём дискриминант:

$$D=[6(a+3)]^2-4\cdot 3(a+3)\cdot(-5)$$

$$D=36(a+3)^2+60(a+3)=12(a+3)(3(a+3)+5)$$

Требуем:

$$12(a+3)(3(a+3)+5)\le 0$$

Так как уже известно, что $$a+3\le 0$$, то остаётся:

$$3(a+3)+5\ge 0$$

$$3a+14\ge 0 \quad \Rightarrow \quad a\ge -\frac{14}{3}$$

Совмещая условия, получаем:

$$-\frac{14}{3}\le a\le -3$$

Ответ

$$\left[-\frac{14}{3};-3\right]$$