Упр.41.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.20. При каких значениях параметра c функция f(x)=(c-12)x^3+3(c-12)x^2+6x+7 возрастает на R?

Найдём производную функции:

$$f(x)=(c-12)x^3+3(c-12)x^2+6x+7$$

$$f'(x)=3(c-12)x^2+6(c-12)x+6$$

Чтобы функция возрастала на $$\mathbb{R}$$, достаточно и необходимо, чтобы

$$f'(x)\ge 0$$

при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$3(c-12)x^2+6(c-12)x+6\ge 0.$$

Разделим на $$3$$:

$$ (c-12)x^2+2(c-12)x+2\ge 0.$$

Для неотрицательности при всех $$x$$ нужно, чтобы старший коэффициент был неотрицателен и дискриминант не превосходил нуля:

$$c-12\ge 0,$$

$$D=[2(c-12)]^2-4(c-12)\cdot 2\le 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=4(c-12)^2-8(c-12)=4(c-12)(c-14)\le 0.$$

С учётом $$c-12\ge 0$$ получаем:

$$12\le c\le 14.$$

Ответ

$$[12;14]$$