Упр.41.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x^3+3x^2-9x; 2) f(x)=x^4+4x-20.

1. $$f(x)=x^3+3x^2-9x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1).$$

   Критические точки:

   $$f'(x)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=1.$$

   Исследуем знак производной:

   • при $$x<-3$$ имеем $$f'(x)>0$$, функция возрастает;
   • при $$-3<x<1$$ имеем $$f'(x)<0$$, функция убывает;
   • при $$x>1$$ имеем $$f'(x)>0$$, функция возрастает.

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;\,-3] \cup [1;\,+\infty)$$ и убывает на $$[-3;\,1]$$.

2. $$f(x)=x^4+4x-20$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3+4=4(x^3+1)=4(x+1)(x^2-x+1).$$

   Так как $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x+1$$.

   • при $$x<-1$$ имеем $$f'(x)<0$$, функция убывает;
   • при $$x>-1$$ имеем $$f'(x)>0$$, функция возрастает.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и возрастает на $$[-1;\,+\infty)$$.

Ответ

1) Возрастает на $$(-\infty;\,-3] \cup [1;\,+\infty)$$, убывает на $$[-3;\,1]$$.

2) Убывает на $$(-\infty;\,-1]$$, возрастает на $$[-1;\,+\infty)$$.