Упр.41 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-x+1}=4x-3$$;
   2) $$(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}+x^2+x-7)=x$$.

1) Обозначим

$$a=\sqrt{x^2+3x-2},\qquad b=\sqrt{x^2-x+1}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a+b=4x-3.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=(4x-3)^2.$$

Подставим выражения для $$a^2$$ и $$b^2$$:

$$x^2+3x-2+2\sqrt{(x^2+3x-2)(x^2-x+1)}+x^2-x+1=16x^2-24x+9.$$

После преобразований получаем

$$2\sqrt{(x^2+3x-2)(x^2-x+1)}=14x^2-28x+10.$$

Далее удобно воспользоваться разностью квадратов:

$$a^2-b^2=(x^2+3x-2)-(x^2-x+1)=4x-3.$$

Так как $$a+b=4x-3,$$ то

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$

следовательно,

$$a-b=1.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x^2-x+1}+1.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2+3x-2=x^2-x+1+2\sqrt{x^2-x+1}+1,$$

$$2\sqrt{x^2-x+1}=4x-4,$$

$$\sqrt{x^2-x+1}=2x-2.$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2-x+1=4x^2-8x+4,$$

$$3x^2-7x+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=49-36=13,$$

$$x=\frac{7\pm\sqrt{13}}{6}.$$

Проверим область допустимых значений:

$$4x-3\ge 0,\qquad 2x-2\ge 0,$$

откуда $$x\ge 1.$$

Подходит только

$$x=\frac{7+\sqrt{13}}{6}.$$

2) Обозначим

$$y=\sqrt{x+1},\qquad y\ge 0,\qquad x=y^2-1.$$

Тогда уравнение перепишется так:

$$\bigl(y+1\bigr)\bigl(y+x^2+x-7\bigr)=x.$$

Подставим $$x=y^2-1$$:

$$\bigl(y+1\bigr)\bigl(y+(y^2-1)^2+(y^2-1)-7\bigr)=y^2-1.$$

Упростим:

$$\bigl(y+1\bigr)\bigl(y+y^4-2y^2+1+y^2-1-7\bigr)=y^2-1,$$

$$\bigl(y+1\bigr)\bigl(y^4-y^2+y-7\bigr)=y^2-1.$$

Так как $$y^2-1=(y-1)(y+1),$$ получаем

$$\bigl(y+1\bigr)\bigl(y^4-y^2+y-7\bigr)=(y-1)(y+1).$$

При $$y\ne -1$$ сокращаем на $$y+1$$:

$$y^4-y^2+y-7=y-1,$$

$$y^4-y^2-6=0.$$

Положим $$t=y^2$$. Тогда

$$t^2-t-6=0,$$

$$\bigl(t-3\bigr)\bigl(t+2\bigr)=0.$$

С учётом $$t=y^2\ge 0$$ получаем $$t=3$$, значит

$$y^2=3,\qquad y=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$x=y^2-1=3-1=2.$$

Ответ

1) $$x=\frac{7+\sqrt{13}}{6}$$; 2) $$x=2$$.