Упр.41.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1) $$f(x)=x^3+3x^2-9x$$; 2) $$f(x)=x^4+4x-20$$.

1) $$f(x)=x^3+3x^2-9x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=1$$.

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-3) & (-3,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & — & + \end{array}$$

Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-3]$$ и $$[1;+\infty)$$, а убывает на промежутке $$[-3;1]$$.

2) $$f(x)=x^4+4x-20$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3+4=4(x^3+1)=4(x+1)(x^2-x+1).$$

Так как $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x+1$$.

Следовательно,

$$\begin{array}{c|cc} x & (-\infty,-1) & (-1,+\infty) \\ \hline f'(x) & — & + \end{array}$$

Значит, функция убывает на промежутке $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на промежутке $$[-1;+\infty)$$.

Ответ

1) Возрастает на $$(-\infty;-3] \cup [1;+\infty)$$, убывает на $$[-3;1]$$.

2) Убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$.