Упр.41.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) y=ax-x^5; 3) y=-2v(x+3)+ax;
2) y=2cos(3x)+ax; 4) y=-x^3/3+ax^2/2-4x+21?

Подробный ответ

$$y=ax-x^5$$
Найдём производную:
$$y'(x)=a-5x^4.$$
Чтобы функция была убывающей, нужно, чтобы
$$a-5x^4\le 0$$
при всех $$x$$. Так как $$x^4\ge 0$$, наибольшее значение выражения $$a-5x^4$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$a$$. Значит,
$$a\le 0.$$
$$y=2\cos 3x+ax$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-6\sin 3x+a.$$
Для убывания нужно:
$$-6\sin 3x+a\le 0$$
при всех $$x$$. Так как $$\sin 3x\in[-1;1]$$, наибольшее значение производной равно
$$a+6.$$
Следовательно,
$$a+6\le 0,\quad a\le -6.$$
$$y=-2\sqrt{x+3}+ax$$
Область определения: $$x\ge -3$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}+a=-\frac{1}{\sqrt{x+3}}+a.$$
Для всех $$x\ge -3$$ имеем $$\frac{1}{\sqrt{x+3}}>0$$, значит
$$-\frac{1}{\sqrt{x+3}}+a\le 0$$
при всех $$x$$ только тогда, когда $$a\le 0$$.
$$y=-\frac{x^3}{3}+\frac{ax^2}{2}-4x+21$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-x^2+ax-4.$$
Чтобы функция была убывающей, нужно, чтобы
$$-x^2+ax-4\le 0$$
при всех $$x$$, то есть
$$x^2-ax+4\ge 0$$
при всех $$x$$.
Это квадратный трёхчлен неотрицателен при всех $$x$$, если его дискриминант не положителен:
$$D=a^2-16\le 0.$$
Отсюда
$$-4\le a\le 4.$$