Упр.41.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) y=x^3-ax; 3) y=-2v(1-x)+ax;
2) y=3sin(4x)+ax; 4) y=x^3/3+2(a+1)x^2+9x-4?
$$y=x^3-ax$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3x^2-a$$
Чтобы функция была возрастающей на всей области определения, нужно, чтобы
$$3x^2-a\ge 0$$
при всех $$x$$. Так как $$3x^2\ge 0$$, минимальное значение выражения $$3x^2-a$$ достигается при $$x=0$$:
$$-a\ge 0$$
$$a\le 0$$
Ответ: $$(-\infty;0]$$.
$$y=3\sin 4x+ax$$
Найдём производную:
$$y'(x)=12\cos 4x+a$$
Для возрастания нужно:
$$12\cos 4x+a\ge 0$$
Так как $$\cos 4x\ge -1$$, то наименьшее значение производной равно
$$-12+a$$
Следовательно,
$$-12+a\ge 0$$
$$a\ge 12$$
Ответ: $$[12;+\infty)$$.
$$y=-2\sqrt{1-x}+ax$$
Область определения: $$1-x\ge 0$$, то есть $$x\le 1$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=-2\cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}}+a=\frac{1}{\sqrt{1-x}}+a$$
Для возрастания нужно:
$$\frac{1}{\sqrt{1-x}}+a\ge 0$$
Так как при $$x<1$$ имеем $$\frac{1}{\sqrt{1-x}}>0$$, то достаточно, чтобы
$$a\ge 0$$
Ответ: $$[0;+\infty)$$.
$$y=\frac{x^3}{3}+2(a+1)x^2+9x-4$$
Найдём производную:
$$y'(x)=x^2+4(a+1)x+9$$
Чтобы функция была возрастающей, нужно, чтобы
$$x^2+4(a+1)x+9\ge 0$$
при всех $$x$$. Так как старший коэффициент положителен, это возможно только при неположительном дискриминанте:
$$D=[4(a+1)]^2-4\cdot 1\cdot 9\le 0$$
$$16(a+1)^2-36\le 0$$
$$4(a+1)^2-9\le 0$$
$$4a^2+8a-5\le 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_1=8^2-4\cdot 4\cdot(-5)=64+80=144$$
$$a_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{2\cdot 4}$$
$$a_1=-\frac{5}{2},\qquad a_2=\frac{1}{2}$$
Тогда
$$-\frac{5}{2}\le a\le \frac{1}{2}$$
Ответ: $$\left[-\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right]$$.
