Упр.41.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=v(x^2-1).

Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x^2-1}.$$

Найдём область определения:

$$x^2-1\ge 0,$$

откуда

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Вычислим производную:

$$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется знаком числителя $$x$$.

Для $$x\le -1$$ имеем $$f'(x)\le 0,$$ значит, функция убывает на $$(-\infty;\,-1].$$

Для $$x\ge 1$$ имеем $$f'(x)\ge 0,$$ значит, функция возрастает на $$[1;\,+\infty).$$

Ответ

Функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty).$$