Упр.41.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=v(x^2+4x); 2) f(x)=v(6x-x^2).

1) $$f(x)=\sqrt{x^2+4x}$$

Найдём область определения:

$$x^2+4x\ge 0$$

$$x(x+4)\ge 0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-4]\cup[0;+\infty)$$

Производная функции:

$$f'(x)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x}}=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}}$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем. Рассмотрим промежутки области определения:

при $$x\in(-\infty;-4]$$ имеем $$x+2<0,$$ значит функция убывает;

при $$x\in[0;+\infty)$$ имеем $$x+2>0,$$ значит функция возрастает.

2) $$f(x)=\sqrt{6x-x^2}$$

Найдём область определения:

$$6x-x^2\ge 0$$

$$x(6-x)\ge 0$$

Отсюда

$$x\in[0;6]$$

Производная функции:

$$f'(x)=\frac{6-2x}{2\sqrt{6x-x^2}}=\frac{3-x}{\sqrt{6x-x^2}}$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

при $$x\in[0;3]$$ имеем $$3-x\ge 0,$$ значит функция возрастает;

при $$x\in[3;6]$$ имеем $$3-x\le 0,$$ значит функция убывает.

Ответ

1) убывает на $$(-\infty;-4]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$;

2) возрастает на $$[0;3]$$, убывает на $$[3;6]$$.