Упр.41.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1)f(x)=sin(x)-x; 2) f(x)=xv2/2-sin(x).

1. $$f(x)=\sin x-x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\cos x-1$$

   Так как $$\cos x\le 1$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, то

   $$f'(x)\le 0.$$

   Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.

2. $$f(x)=\frac{x\sqrt{2}}{2}-\sin x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x$$

   Для возрастания нужно:

   $$f'(x)\ge 0 \iff \cos x\le \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Это выполняется при

   $$x\in \left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Для убывания нужно:

   $$f'(x)\le 0 \iff \cos x\ge \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x\in \left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) Убывает на $$\mathbb{R}$$.

2) Возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]$$, $$n\in \mathbb{Z}$$.